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炒菜大全-兴趣奥数讲义+操练:容斥原理

容斥原理

专题简析:

容斥问题涉及到一个重要原理——包括与扫除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包括时,为了不重复计数,应从它们的和中扫除重复部分。

容斥原理:对n个事物,假如选用不同的分类规范,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最终问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完结的人数。

剖析与回答:完结语文作业的有37人,完结数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是由于语文、数学作业都完结的人数在计算做完语文作业的人数时算过一次,在计算做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完结的有:79-48=31人。

操练一

1,五年级有122名学生参与语文、数学考试,每人至少有一门功课获得优异成果。其间语文成果优异的有65人,数学优异的有87人。语文、数学都优异的有多少人?

2,四年级一班有54人,订阅《小学生优异作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优异作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?

3,校园文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其间两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人?

1.65+87-122=30(人)

2.54-45+13=22(人)

3.24-8+17=33(人)

例2:某班有36个同学在一项测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?

剖析与回答:已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,能够求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33炒菜大全-兴趣奥数讲义+操练:容斥原理=3人。

操练二

1,五(1)班有40个学生,其间25人参与数学小组,23人参与科技小组,有19人两个小组都参与了。那么,有多少人两个小组都没有参与?

2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《我国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人?

3,某校选出50名学生参与区作文比赛和数学比赛,成果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?

1.40-(23+25-19)=11(人)

2.55-(32+29-25)=19(人)

3.(50-27)+3-14=12(人)

例3:某班有56人,参与语文比赛的有28人,参与数学比赛的有27人,假如两科都没有参与的有25人,那么一起参与语文、数学两科比赛的有多少人?

剖析与回答:要求两科比赛一起参与的人数,应先求出至少参与一科比赛的人数:56-25=31人,再求两科比赛一起参与的人数:28+27-31=24人。

操练三

1,一个旅行社有36人,其间会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

2,一个沙龙有103人,其间会下我国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人?

3,三年级一班参与合唱队的有40人,参与舞蹈队的有20人,既参与合唱队又参与舞蹈队的有14人。这两队都没有参与的有10人。请算一算,这个班共有多少人?

1.24+18-(36-4)=10(人)

2.69+52-(103-12)=30(人)

3.40+20-14+10=56(人)

例4炒菜大全-兴趣奥数讲义+操练:容斥原理:在1到100的自然数中,宇智波佐助既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?

剖析与回答:从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中,5的倍数有1005=20个,6的倍数有16个(1006=16……4),其间既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(10030=3……10)。因而,是6或5的倍数的个数是16+20-3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是:100-33=67个。

操练四

1,在1到200的悉数自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?

2,在1到130的悉数自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?

3,五(1)班做广播操,全班排成4行,每行的人数持平。小华排的方位是:从前面数第5个,从后边数第8个。这个班共有多少个学生?

1.140个2.87个

3.(5+8-1)4=48(人)

例5:光亮小学举行炒菜大全-兴趣奥数讲义+操练:容斥原理学生书法展览。校园的橱窗里展出了每个年级学生的书法著作,其间有24幅

不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法著作共有10幅,其他年级参展的书法著作共有多少幅?

剖析与回答:由题意知,24幅著作是一、二、三、四、六年级参展著作的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展著作的总数。24+22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的著作数,从其间去掉五、六两个年级共参展的10幅著作,即得到两个一、二、三、四年级参展著作的总数,再除以2,即可求出其他年级参展著作的总数。(24+22-10)2=18幅。

操练五

1,科技节那天,校园的科技室里展出了每个年级学生的科技著作,其间有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的著作共有32件。其他年级参展的著作共有多少件?

2,六(1)儿童节那天,校园的画廊里展出了每个年级学生的图像著作,其间有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

3,试验小学举行学生书法展,校园的橱窗里展出每个年级学生的书法著作,其间有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法著作共有20幅。一、二年级参展的著作总数比三、四年级参展著作的总数少4幅。一、二年级参展的书法著作共有多少幅?

1.89件2.18幅

3.[(28+24-20)2-4]2=6(幅)

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